জ্যামিতির ৫০টি গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্য ঃ
উপপাদ্য-১: একটি রশ্মির প্রান্ত বিন্দুতে অপর একটি সরলরেখা মিলিত হলে, যে দুইটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয়, এদের সমষ্টি দুই সমকোণ।
উপপাদ্য-২: দুইটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণের সমান হলে, এদের বহিঃস্থ বাহুদ্বয় একই সরলরেখায় অবস্থিত।
উপপাদ্য-৩: দুইটি সরলরেখা পরস্পর ছেদ করলে উৎপন্ন বিপ্রতীপ কোণগুলো পরস্পর সমান।
উপপাদ্য-৪: একটি সরলরেখা অপর দুইটি সমান্তরাল সরলরেখাকে ছেদ করলে
ক) একান্তর কোণগুলো সমান হবে
খ) অনুরূপ কোণগুলো সমান হবে এবং
গ) ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ দুইটির সমষ্টি দুই সমকোণ হবে।
উপপাদ্য-৫: দুইটি সরলরেখাকে অপর একটি সরলরেখা ছেদ করলে, যদি
ক) একান্তর কোণগুলো সমান হয়, অথবা
খ) অনুরূপ কোণগুলো সমান হয়, অথবা
গ) ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ দুইটির সমষ্টি দুই সমকোণের সমান হয়, তবে ঐ রেখা দুইটি সমান্তরাল হবে।
উপপাদ্য-৬: যেসব রেখা একই সরলরেখার সমান্তরাল তারা পরস্পর সমান্তরাল।
উপপাদ্য-৭: যদি দুইটি ত্রিভুজের একটির দুই বাহু যথাক্রমে অপরটির দুই বাহুর সমান হয় এবং বাহু দুইটির অন্তর্ভুক্ত কোণ দুইটি পরস্পর সমান হয়, তবে ত্রিভুজ দুইটি সর্বসম।
উপপাদ্য-৮: যদি কোন ত্রিভুজের দুইটি বাহু পরস্পর সমান হয়, তবে এদের বিপরীত কোণ দুইটিও পরস্পর সমান হবে।
উপপাদ্য-৯: যদি কোন ত্রিভুজের দুইটি কোণ পরস্পর সমান হয়, তবে এদের বিপরীত বাহুদ্বয়ও পরস্পর সমান হবে।
উপপাদ্য-১০: যদি একটি ত্রিভুজের তিন বাহু অপর একটি ত্রিভুজের তিন বাহুর সমান হয়, তবে ত্রিভুজ দুইটি সর্বসম হবে।
উপপাদ্য-১১: কোন ত্রিভুজের একটি বাহু অপর একটি বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর হলে, বৃহত্তর বাহুর বিপরীত কোণ ক্ষুদ্রতর বাহুর বিপরীত কোণ অপেক্ষা বৃহত্তর হবে।
উপপাদ্য-১২: কোন ত্রিভুজের একটি কোণ অপর একটি কোণ অপেক্ষা বৃহত্তর হলে, বৃহত্তর কোণের বিপরীত বাহু ক্ষুদ্রতর কোণের বিপরীত বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর হবে।
উপপাদ্য-১৩: ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর সমষ্টি, তার তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।
উপপাদ্য-১৪: কোন সরলরেখার বহিঃস্থ কোন বিন্দু থেকে উক্ত সরলরেখা পর্যন্ত যতগুলো রেখাংশ টানা যায় তার মধ্যে লম্ব রেখাংশটি ক্ষুদ্রতম।
উপপাদ্য-১৫: ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণের সমান।
উপপাদ্য-১৬: যদি একটি ত্রিভুজের দুইটি কোণ ও একটি বাহু যথাক্রমে অপর একটি ত্রিভুজের দুইটি কোণ এবং অনুরূপ বাহুর সমান হয়, তবে ত্রিভুজ দুইটি সর্বসম হবে।
উপপাদ্য-১৭: দুইটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজদ্বয় সমান হলে এবং একটির এক বাহু অপরটির অপর এক বাহুর সমান হলে ত্রিভুজদ্বয় সর্বসম হবে।
উপপাদ্য-১৮: চতুর্ভুজের দুইটি বিপরীত বাহু সমান ও সমান্তরাল হলে, অপর বাহু দুইটিও সমান ও সমান্তরাল হবে।
উপপাদ্য-১৯: সামান্তরিকের বিপরীত বাহুগুলো ও কোণগুলো পরস্পর সমান এবং প্রত্যেক কর্ণ সামান্তরিককে দুইটি সর্বসম ত্রিভুজে বিভক্ত করে।
উপপাদ্য-২০: একটি ত্রিভুজক্ষেত্র ও একটি সামান্তরিকক্ষেত্র একই ভূমির উপর এবং একই সমান্তরাল রেখাযুগলের মধ্যে অবস্থিত হলে, ত্রিভুজক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল সামান্তরিক ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফলের অর্ধেক হবে।
উপপাদ্য-২১: একই ভূমির উপর এবং একই সমান্তরাল রেখাযুগলের মধ্যে অবস্থিত সকল ত্রিভুজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমান।
উপপাদ্য-২২: একই ভূমির উপর এবং একই পাশে অবস্থিত সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট সকল ত্রিভুজক্ষেত্র একই সমান্তরাল রেখাযুগলের মধ্যে অবস্থিত হবে।
উপপাদ্য-২২ (ক): একই ভূমির উপর এবং একই সমান্তরাল রেখাযুগলের মধ্যে অবস্থিত সামান্তরিকক্ষেত্রসমূহের ক্ষেত্রফল সমান।
(খ) সমান সমান ভূমির উপর এবং একই সমান্তরাল রেখাযুগলের মধ্যে অবস্থিত সামান্তরিকক্ষেত্রসমূহের ক্ষেত্রফল সমান।
উপপাদ্য-২৩: একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান।
উপপাদ্য-২৪: যদি কোন ত্রিভুজের একটি বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল অপর দুইটি বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান হয়, তবে শেষোক্ত বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণটি সমকোণ হবে।
উপপাদ্য-২৫: ত্রিভুজের কোন এক বাহুর সমান্তরাল যেকোন রেখাংশ তার অপর দুই বাহুকে বা তাদের বর্ধিতাংশদ্বয়কে সমান অনুপাতে বিভক্ত করে।
উপপাদ্য-২৬: কোন রেখাংশ একটি ত্রিভুজের দুই বাহুকে বা তাদের বর্ধিতাংশদ্বয়কে সমান অনুপাতে বিভক্ত করলে, উক্ত রেখাংশ ত্রিভুজটির তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল হবে।
উপপাদ্য-২৭: দুইটি ত্রিভুজ সদৃশকোণী হলে তাদের অনুরূপ বাহুগুলোর অনুপাত সমান হবে।
উপপাদ্য-২৮: দুইটি ত্রিভুজের বাহুগুলো সমানুপাতিক হলে ত্রিভুজদ্বয় সদৃশকোণী এবং তাদের অনুরূপ বাহুর বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান হবে।
উপপাদ্য-২৯: দুইটি ত্রিভুজের মধ্যে একটির এক কোণ অপরটির এক কোণের সমান হলে এবং সমান সমান কোণ সংলগ্ন বাহুগুলো সমানুপাতিক হলে, ত্রিভুজদ্বয় সদৃশ হবে।
উপপাদ্য-৩০: দুইটি সদৃশ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলদ্বয়ের অনুপাত তাদের যেকোন দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের অনুপাতের সমান।
উপপাদ্য-৩১: দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে সমদূরবর্তী কোন বিন্দুর সঞ্চারপথ উক্ত বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাংশের লম্বসমদ্বিখণ্ডক।
উপপাদ্য-৩২: পরস্পরছেদী দুইটি সরলরেখা থেকে সমদূরবর্তী কোন বিন্দুর সঞ্চারপথ উক্ত নির্দিষ্ট রেখা দুইটির অন্তর্ভুক্ত কোণদ্বয়ের সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় হবে।
উপপাদ্য-৩৩: বৃত্তের ব্যাস ভিন্ন কোন জ্যা এর মধ্যবিন্দু ও কেন্দ্রের সংযোজক রেখাংশ ঐ জ্যা এর উপর লম্ব।
উপপাদ্য-৩৪: বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন অন্য কোন জ্যা-এর উপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
উপপাদ্য-৩৫: বৃত্তের সমান সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।
উপপাদ্য-৩৬: বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী সকল জ্যা পরস্পর সমান।
উপপাদ্য-৩৭: বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তঃস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
উপপাদ্য-৩৮: বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তঃস্থ কোণগুলো পরস্পর সমান।
উপপাদ্য-৩৯: দুইটি বিন্দুর সংযোজক রেখাংশ তার একই পাশে অপর দুই বিন্দুতে সমান কোণ উৎপন্ন করলে, বিন্দু চারটি সমবৃত্ত হবে।
উপপাদ্য-৪০: অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সমকোণ।
উপপাদ্য-৪১: বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের যেকোন দুইটি বিপরীত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ।
উপপাদ্য-৪২: কোন চতুর্ভুজের দুইটি বিপরীত কোণ সম্পূরক হলে তার শীর্ষবিন্দু চারটি সমবৃত্ত হয়।
উপপাদ্য-৪৩: সমান সমান বৃত্তচাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ বা বৃত্তস্থ কোণগুলো সমান।
উপপাদ্য-৪৪: সমান সমান বৃত্তে যে সকল চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ বা বৃত্তস্থ কোণগুলো সমান, সে সকল চাপ সমান
উপপাদ্য-৪৫: সমান সমান বৃত্তে সমান সমান জ্যা সমান সমান চাপ ছিন্ন করে।
উপপাদ্য-৪৬: সমান সমান বৃত্তে যে সকল জ্যা সমান সমান চাপ ছিন্ন করে, তারা পরস্পর সমান।
উপপাদ্য-৪৭: বৃত্তের যেকোন বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের উপর লম্ব।
উপপাদ্য-৪৮: বৃত্তের বহিঃস্থ কোন বিন্দু থেকে বৃত্তে দুইটি স্পর্শক টানলে, ঐ বিন্দু থেকে স্পর্শ বিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব সমান হবে।
উপপাদ্য-৪৯: দুইটি বৃত্ত পরস্পর স্পর্শ করলে, তাদেও কেন্দ্রদ্বয় ও স্পর্শ বিন্দু সমরেখ হবে।
উপপাদ্য-৫০: বৃত্তের উপরস্থ কোন বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক এবং ঐ বিন্দুগামী যেকোন জ্যা-এর অন্তর্গত কোণ তার একান্তর বৃত্তাংশের যেকোন কোণের সমান।
